Gana egresado de Matemáticas de la UAEH Premio “Sotero Prieto” por su tesis de licenciatura

La convocatoria por la cual participó Mauricio Islas Gómez, egresado de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas y actualmente estudiante de la Maestría en Matemáticas, ambas en la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH), lleva por nombre “Premio Sotero Prieto” en memoria de uno de los primeros académicos que se dedicaron profesionalmente a la enseñanza de las matemáticas a nivel universitario en México.

El premio lo otorga cada año la Sociedad Matemática Mexicana (SMM) y consiste en reconocer a las mejores tesis de matemáticas a nivel licenciatura que fueron defendidas en el periodo anterior. En la edición del año 2022, otorgaron tres medallas, de las cuales Mauricio Islas fue acreedor de una de ellas y la ceremonia de reconocimiento la realizaron durante la inauguración del 55º Congreso de la SMM que tuvo lugar en la Universidad de Guadalajara de forma híbrida.

La tesis lleva por nombre “Propiedades homotópicas del operador de clanes en gráficas”. Para una mejor comprensión, a continuación, describiremos cuál es el tipo de cosas que se abordan en el trabajo y otras más sobre ciertas aplicaciones que tienen algunos de los conceptos que usamos.

El objeto de estudio principal son lo que nosotros conocemos como gráficas, que bien se pueden pensar como “redes”, es decir como una serie de vértices y de aristas que unen algunos de estos vértices, así como se muestra en la figura 1 de abajo (los vértices son los puntos negros y las aristas las líneas que unen algunos de estos puntos).

Figura 1. Vértices y aristas

Este tipo de gráficas son utilizadas por algunas o algunos especialistas para modelar diferentes situaciones, por ejemplo, los vértices podrían representar neuronas y va a existir una arista entre dos de ellas si éstas pueden comunicarse entre sí. O bien, una gráfica como estas podría modelar las amistades en una red social, es decir, los vértices podrían representar personas y existirá una arista entre dos de ellas si son amigos en esta red social.

Ahora, en la tesis de Mauricio Islas, de la cual fui su director, Rafael Villarroel Flores, hay una construcción que a nosotros nos interesa mucho, la cual consiste en que a cada gráfica le podemos construir otra gráfica a partir de ella, la cual conocemos como la gráfica de clanes. Vamos a explicar esta construcción en términos de personas y la relación de amistad, consideremos la figura 2 de abajo:

Figura 2. Gráfica de clanes

Supongamos que los vértices en la gráfica de la izquierda que etiquetamos con G representan personas y las aristas entre dos vértices significan que esas personas son amigas. Como podemos ver las personas 1, 3 y 4 son todas amigas entre sí, pero además ya no hay otra persona que sea amiga de 1, 3 y 4 a la vez, cuando tenemos esta situación decimos que 1, 3 y 4 forman un clan, a este clan formado por las personas 1, 3 y 4 lo vamos a llamar q₁. De forma similar podemos ver que las personas 2, 4 y 5 son amigas todas entre sí, pero ya no hay otra persona que sea amiga de todas ellas a la vez; entonces 2, 4 y 5 forman un clan que vamos a llamar q₂. Así uno puede darse cuenta de que las personas 3 y 6 forman otro clan que llamaremos q₃, y 5 y 6 forman otro clan que llamaremos q₄. En resumen, un clan es un grupo de personas donde todas son amigas entre sí, pero ya no existe otra persona que sea amiga de todas las demás personas de ese grupo.

A partir de esto formamos la gráfica de la derecha que etiquetamos con K(G). Donde ahora los vértices de esta nueva gráfica son los clanes y vamos a poner una arista entre ellos si estos clanes tienen una persona en común. Por ejemplo, quedamos que 1, 3 y 4 forman el clan q₁; por otro lado 2, 4 y 5 forman el clan q₂, estos dos clanes tienen una persona en común que es la persona 4. Entonces, como se muestra en la figura de la derecha, tiene que haber una arista entre q₁ y q₂. De esta forma es como construimos la gráfica de clanes.

Es posible asignar una “figura geométrica” a cada gráfica como se muestra en la siguiente imagen (Figura 3):

Figura 3. “Figura geométrica”

En la figura de la izquierda tenemos una gráfica como las que ya hemos definido y en la de la derecha tenemos su figura geométrica asociada. La construcción se hace de la siguiente forma: por cada vértice de la gráfica dibujamos un punto, luego por cada arista trazamos una línea recta entre dichos puntos y por cada clan de tres vértices (es decir, por cada triángulo) sombreamos toda la figura. Si una gráfica tuviese un clan de cuatro vértices entonces tendríamos que sombrear y rellenar un tetraedro (o pirámide), y así sucesivamente en dimensiones más grandes.

Ahora, el problema principal que se estudia en la tesis es: ¿Qué debe cumplir una gráfica G para que las figuras asociadas a G y a su gráfica de clanes K(G) se “parezcan”? En matemáticas tenemos un término preciso sobre qué significa que dos figuras se “parezcan”, ese término es al que llamamos homotopía. Esto resulta interesante porque tanto hay gráficas que se parecen a su gráfica de clanes como hay unas que no. Por ejemplo, la siguiente gráfica que se muestra (Figura 4) es la conocida como el octaedro y su figura asociada se parece a una esfera que podemos dibujar en un espacio de tres dimensiones. Pero la figura asociada a la gráfica de clanes del octaedro se parece a una esfera que ya no se puede dibujar en tres dimensiones, de hecho, es una esfera de cuatro dimensiones, por lo que esas dos esferas mencionadas no se parecen.

Figura 4. Gráfica de clanes del octaedro

Estos conceptos que hemos presentado se han aplicado a distintas ramas de la ciencia. Como un ejemplo de aplicación de las gráficas de clanes tenemos que el físico Manfred Requardt las ha usado para hacer algunos estudios en física, tal como pueden revisar en su artículo científico al cual pueden acceder a través del siguiente link:

https://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.94.124019. También los clanes han tenido aplicaciones en ramas de la biología, como ejemplo en la caracterización y clasificación de señales electrofisiológicas, que pueden constatar en el siguiente artículo: (https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fbioe.2020.00324/full).

Como último ejemplo de aplicación de estos conceptos es que el hecho de asignar figuras geométricas a las gráficas ha servido para el análisis de datos. En este caso, los vértices de una gráfica funcionan como los datos y hay una arista entre dos datos si hay una cierta relación entre ellos. La idea de asignar una figura geométrica a estos datos es para encontrar ciertos “huecos” de diferentes dimensiones. Tales “huecos” pueden dar cierta información a quienes hacen este tipo de análisis, un ejemplo de esto se puede ver en: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-69775-8_6.

Como ya mencionamos el problema principal de estudio de la tesis fue buscar condiciones en una gráfica G para que las figuras asociadas a G y a su gráfica de clanes K(G) se “parezcan” (a las gráficas G que cumplan esto las llamaremos invariantes). Así, el problema se resume en encontrar gráficas que sean invariantes. Se conoce que una cierta clase de gráficas que tienen cierta propiedad llamada la propiedad de ser clan-Helly resultan ser invariantes. Y a pesar de ser una clase “grande” de gráficas que cumplen con ello, no son todas las que se conocen, es decir, hay gráficas que no tienen la propiedad de ser clan-Helly que también son invariantes.

En la tesis nos centramos en una conjetura que es la siguiente: “Si una gráfica G cumple que su gráfica de clanes K(G) tiene la propiedad de ser clan-Helly entonces G es invariante”. A pesar de no poder dar una demostración o un contraejemplo en la tesis para esa conjetura, sí se logró mostrar que es verdadera para gráficas de 8 vértices o menos. Además, se encontró una condición que debería cumplir un contraejemplo mínimo en caso de ser falsa la conjetura. Tal condición nos ayudó a reducir considerablemente el número de casos para verificar que las gráficas de 8 vértices o menos cumplen ser invariantes.

De acuerdo con lo mencionado en la entrega del Premio Sotero Prieto, el jurado califica la complejidad del problema estudiado en la tesis, así como la redacción del trabajo. En efecto, no parece sencillo dar una demostración sobre la conjetura que se estudió en el proyecto ya que cuando se demostró que es válida hasta gráficas de 8 vértices o menos, no pudimos observar un patrón para dar una demostración en general. Además de que, ya de entrada, el obtener la gráfica de clanes de una gráfica es computacionalmente difícil, es decir, en general, a una computadora le llevaría mucho tiempo calcular la gráfica de clanes de una gráfica en general. Esto, nos da una pequeña idea de la complejidad del problema estudiado.

Por eso la tesis de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas de Mauricio Islas mereció el reconocimiento que otorga la Sociedad Matemática Mexicana; sin duda un estímulo para el estudiante, para el grupo académico del área y para el resto de la comunidad del Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería (ICBI) de la UAEH.